د جوردان گاوس میتود

د جوردان گاوس میتود (د ړنگولو نامعلومه طریقه) — یو میتود دی چې د جبري خطي معادلو سیستم لپاره کارول کېږي، د معکوس ماټریسونو لپاره ډېر کارول کېږي.

پرمختللی الگورېتم د معکوس ماټریس د پیداکولو لپاره

Пусть дано:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)a_{ii}\ne 0I=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

مستقیم حرکت (د صفر د لاسته راوړلو الگاریتم د اصلي قطر څخه)

• Разделим первую строку матрицы А на $a_{11}$ получим: $a_{1j}^1=\frac{a_{1j}}{a_{11}}$, j — столбец матрицы А.
• Повторяем действия для матрицы I, по формуле: $b_{1s}^1=\frac{b_{1s}}{a_{11}}$, s — столбец матрицы I

Получим:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a_{12}^1& \cdots & a_{1n}^1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)I=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}^1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

• Будем образовывать 0 в первом столбце : $a_{2j}^1=a_{2j}-a_{1j}^1{a}_{21}\dots a_{nj}^1=a_{nj}-a_{1j}^1{a}_{n1}$
• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : $b_{2s}^1=b_{2s}-b_{1s}^1{a}_{21}\dots b_{ns}^1=b_{ns}-b_{1s}^1{a}_{n1}$

Получим:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a_{12}^1& \cdots & a_{1n}^1\\ 0& a_{22}^1& \cdots & a_{2n}^1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{2n}^1& \cdots & a_{nn}^2\end{array}\right)I=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}^1& 0& \cdots & 0\\ b_{21}^1& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}^1& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

• продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : $a_{ij}^k=\frac{a_{ij}^k}{a_{ii}}{a}_{ij}^k=a_{ij}^{k-1}-a_{kj}^k{a}_{ik}^{k-1}$

при условии, что $k=1\to n,i=k+1\to n,j=1\to n$

• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : $b_{ik}^k=\frac{b_{ik}^k}{a_{ii}}{b}_{is}^k=b_{is}^{k-1}-b_{ks}^k{a}_{ik}^{k-1}$

при условии, что $k=1\to n,i=k+1\to n,s=1\to n$

Получим :

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a_{12}^1& \cdots & a_{1n}^1\\ 0& 1& \cdots & a_{2n}^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)I=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}^1& 0& \cdots & 0\\ b_{21}^2& b_{22}^2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}^n& b_{n2}^n& \cdots & b_{nn}^n\end{array}\right)$

معکوس حرکت (د صفر دلاسته راوړلو الگاریتم د اصلي قطر څخه)

Используем формулу: $a_{ij}^{k-1}=a_{ij}^{k-1}-a_{ij}^k{a}_{ik}^i$, при условии, что $k=n\to 1,i=1\to k-1,j=1\to n$

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : $b_{is}^{k-1}=b_{is}^{k-1}-b_{is}^k{a}_{ik}^i$, при условии, что $k=n\to 1,i=1\to k-1,s=1\to n$

Окончательно получаем :

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)I=A^{-1}$

مثالونه

Для решения следующей системы уравнений:

$\{\begin{array}{ccccccc}a& +& b& +& c& =& 0\\ 4a& +& 2b& +& c& =& 1\\ 9a& +& 3b& +& c& =& 3\end{array}$

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& |& 0\\ 4& 2& 1& |& 1\\ 9& 3& 1& |& 3\end{array}\right)$

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& |& 0\\ 0& -2& -3& |& 1\\ 0& -6& -8& |& 3\end{array}\right)$

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
• Строку 2 делим на −2

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& |& 0\\ 0& 1& \frac{3}{2}& |& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& |& 0\end{array}\right)$

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
• К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& |& 0\\ 0& 1& 0& |& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& |& 0\end{array}\right)$

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& |& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0& |& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& |& 0\end{array}\right)$

В правом столбце получаем решение:

$a=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2};c=0$ .

سرچینې

• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. «Schaum’s Outlines: Linear Algebra». Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69–80.

باندیني لینکونه

Примеры реализации алгоритма:

• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
• Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python